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METHODE DE RESOLUTION NUMERIQUE DU PROBLEME DE LAMBERT |
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CONTENU : Mis
à jour décembre 2004, revu sept 2011 II CLASSIFICATION DES CAS DE VOLS III FORMULATION UNIQUE DU PROBLEME POUR TOUS LES CAS ELLIPTIQUES |
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Vers
1760 le mathématicien et mécanicien Lambert, exploitant les travaux de Newton,
étudia le problème d'un trajet empruntant une conique joignant un point de
départ donné P1, à une destination d'arrivée P2 donnée,
en un temps fixé Dt, dans un champ de gravitation de
constante connue m.
Le
problème est donc très général et recouvre en particulier les problèmes
modernes de mise au point des voyages interplanétaires, dans le champ de
gravitation du Soleil, mais aussi certaines évolutions d'un satellite ou sonde,
autour d'une planète.
Il
m'a semblé judicieux, au moment ou tout les passionnés d'espace regardent vers
Mars, de présenter une méthode de résolution accessible à tout étudiant
possédant une calculatrice, pour peu qu'il ait quelques connaissances des
mouvements orbitaux képlériens. Ce cours pourrait aussi intéresser les élèves
des classes préparatoires, pour des TIPE.
La
réponse au problème posé plus haut est apportée, après avoir été résolu
géométriquement par le théorème qui suit.
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THEOREME DE LAMBERT La
durée d'un voyage de P1 à P2, dans un champ de
gravitation de constante m et de
centre O, n'est fonction que des variables : R1+R2 = OP1+
OP2 D =P1P2 a demi
grand axe de la conique Quelle
que soit la durée de vol, il existe une trajectoire unique ellipse à moins
d'un tour ou hyperbole. |
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NB
: Ce problème, une fois résolu, permettra d'aborder l'optimisation de la date
d'un tir interplanétaire, afin notamment de respecter certaines contraintes
technologiques et de minimiser le coût en incréments de vitesse.
Nous
allons donner dans les rubriques qui suivent les moyens de programmer la résolution
numérique de ce problème qui n'a pas encore été résolu analytiquement.
I NOTATIONS-DEFINITIONS-RAPPELS :
1°) DONNEES INITIALES :
Dans
un repère inertiel associé à J2000, héliocentrique écliptique( géocentrique
équatorial), sont connus :
Le
point de départ P1, par ses coordonnées X1, Y1,
Z1
Le
point d'arrivée P2, par ses coordonnées X2, Y2,
Z2
La
durée imposée Dt du voyage
Le
voyage emprunte une trajectoire elliptique ou hyperbolique, et dans le cas
elliptique la théorie est développée à moins d'un tour complet. Nous adapterons
en fin de cours les calculs au cas d'un périple à plus d'un tour.
2°) REMARQUES PRELIMINAIRES :
Afin de
bien fixer les idées et ne pas perdre de vue que l'objectif essentiel est le
voyage interplanétaire, nous nous placerons dans ce cas. Le centre attractif O
sera donc le soleil, P1 la planète de départ (la Terre par exemple)
et P2 celle d'arrivée ( au choix, mais Mars la plus probable).
Dans
les applications pratiques, le sens du mouvement sur la conique est important,
bien que dans le problème de Lambert théorique il importe peu. Pour éviter un
coût en vitesse prohibitif, il est clair qu'une sonde devra adopter le même
sens de mouvement autour du soleil que les planètes, afin de profiter au mieux
de l'effet de "fronde" lors de la sortie de la sphère d'influence de
la planète de départ. On comprendra ainsi mieux les définitions de 3°).
3°) VOYAGE "COURT" ET VOYAGE "LONG" :
Durant
le voyage sur la conique, la sonde allant de P1 à P2 voit son rayon vecteur
"balayer" un angle d. Suivant la
valeur de d par rapport à 180°, on distingue 2
cas, le voyage "court" où d
< 180° et le voyage "long" avec d > 180°. Cette valeur de d ne préjuge pas du sens du mouvement. ( voir plus
loin en 5° )
Dans
tous les types de voyages, elliptiques ou hyperboliques, nous
introduisons les constantes suivantes, caractéristiques associées à la
géométrie du voyage.
REMARQUES :
l > 0 voyage court, l < 0 voyage long.
Le
lecteur vérifiera sans peine que
5°) SENS DU MOUVEMENT ORBITAL :
Sauf
cas particuliers ( d = 0 ou p ) que nous ne traiterons pas, laissant le soin au
lecteur de l'aborder comme cas limite, le mouvement dans le plan orbital est
orienté par le vecteur unitaire classique W , défini par :
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Ou encore avec d |
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NB 1 :
Dans le cadre général du problème de Lambert, aucune condition ne sera imposée
à ce vecteur. Mais en pratique pour un voyage interplanétaire, dont on sait que
l'inclinaison orbitale est rarement forte, W sera "proche" de
l'unitaire K orienté vers le nord écliptique. Ce sens, non obligatoire, est
celui du bons sens, qui permet en général de profiter en partie ou pleinement
de la vitesse de la planète au départ. On cherche donc une vitesse à l'infini
raisonnable.
Donc
NB 2 :
Cependant, on peut très bien aller d'un point à un autre, comme sur les figures
ci-dessous. Vous pourrez vérifier que le vecteur W est pour ces 2 cas
"planté" dans l'écran.
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Voyage "long", sens contraire des planètes |
Voyage "court", sens contraire des planètes |
Il
va de soi que W, portant le moment cinétique, est l'axe de mesure, dans le cas
elliptique, des angles classiques que sont :
q
l'anomalie vraie mesurée de 0 à 2p
j
l'anomalie excentrique mesurée de 0 à 2p
M = j
- esin j , mesurée de 0 à 2p
Rappelons
dans le cas elliptique les relations classiques :
II CLASSIFICATION DES CAS DE VOL
:
Donnons
une classification des vols elliptiques, accompagnée des définitions des nouvelles variables intermédiaires y et F définies entre 0 et p.
Nous
donnerons plus loin le cas hyperbolique, intéressant en théorie mais
actuellement trop cher pour être pratiqué dans un vol réel, à moins qu'une propulsion nouvelle
n'apparaisse, plus puissante qu'avec les technologies d'aujourd'hui.
1°)
LA LOGIQUE DU CLASSEMENT :
On
suppose adopté un sens de parcours, disons le plus commun, sensiblement dans le
sens général des planètes autour du Soleil. Ce qui équivaut à dire que le
vecteur W du repère périfocal PQW a une composante >0 sur l'axe
nord-écliptique. On notera :
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D |
Un mouvement de descente ( mobile après l'apogée et avant le périgée, au point considéré) |
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M |
Un mouvement de montée ( mobile ayant passé le périgée et avant l'apogée, au point considéré ) |
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G- |
Si l'angle balayé d < 180° vol dit "court" |
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G+ |
Si l'angle balayé d > 180° vol dit "long" |
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R1 < R2 |
Le rayon vecteur de départ est < à celui d'arrivée |
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R1 > R2 |
Le rayon vecteur de départ est > à celui d'arrivée |
Les
points P1et P2 peuvent donner lieu à 18 voyages
différents, 12 en elliptique ( cas 1 à 12 ) et 6 en hyperbolique ( cas 13 à 18
), répertoriés sur les figures qui suivent.
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D &D |
G- <==> R1 >
R2 |
Cas 7 --> R1>R2 G- Départ D & A+ Arrivée D & P- |
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G+ <==> R1 <
R2 |
Cas4 --> R1<R2 G+ Départ D & A+ & P-, Arrivée D & P- & A+ ' |
||
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M &M |
G- <==> R1 <
R2 |
Cas 1 --> R1<R2 G- Départ M & P+ Arrivée M & A- |
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G+ <==> R1 >
R2 |
Cas 8 --> R1>R2 G+ Départ M & P+ & A- Arrivée M & P+ & A- |
||
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D & M |
G- |
R1 < R2 |
Cas 12 --> R1<R2 G- Départ D & P- Arrivée M & A- |
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R1 > R2 |
Cas 10 --> R1>R2 G- Départ D & A+ & P- Arrivée D & P- & A+ |
||
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R1 < R2 |
Cas 5 --> R1<R2 G+ Départ D & P- Arrivée M & P+ & A- |
||
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R1 > R2 |
Cas 9 --> R1>R2 G+ Départ D & A+ & P- Arrivée M & P+ & A- |
||
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M & D |
G- |
R1 < R2 |
Cas 2 --> R1<R2 G- Départ M & P+ Arrivée D & P- & A+ |
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R1 > R2 |
Cas 6 --> R1>R2 G- Départ M & P+ Arrivée D & P- & A+ |
||
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G+ |
R1 < R2 |
Cas 3 --> R1<R2 G+ Départ M & P+ Arrivée D & P- & A+ |
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R1 > R2 |
Cas 11 --> R1>R2 G+ Départ M & P+ & A- Arrivée D & A+ & P- |
||
2°)
LA GEOMETRIE DES DIVERS CAS :
Le
calcul du temps est donné dans chaque cas par une relation très spéciale. Quatre
formules sont utilisées pour les 12 cas de calcul elliptique.
NB
: Tous les cas du sens classique de 1 à 12 ont été vérifié, les données
numériques sont dans le fichier source.
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CAS 1 CAS 2
CAS 3 |
TYPE 1: Ellipse Ce sera
pour nous le cas de base pour lequel nous établirons toutes les
relations, à charge pour le lecteur ou l'étudiant d'en généraliser la portée
ou de l'adapter dans les autres cas. Pour les cas 1-2-3 on a: R1 < R2 j1 > j2
ce qui assure
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CAS 11 |
Le cas 11 avec R1 > R2 j2> 2p-j1 & j1<p assure aussi :
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CAS 4
CAS 5 |
TYPE 2 Ellipse Cas 4-5 R1 < R2 j1 > j2
ce qui assure
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CAS 6
CAS 7 |
TYPE 3 Ellipse Cas 4-5-6-7 R1 > R2 j1 < j2
les
conditions assurent comme pour le type 1 |
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CAS 8
CAS 9
CAS 10
CAS 12 |
TYPE 4 Ellipse j1 > j2
Ce qui assure
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CONCLUSION : Il ne reste que 2 configurations de calcul chacune
pour 6 cas:
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CAS 1-2-3-6-7-11 |
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CAS 4-5-8-9-10-12 |
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Pour un calcul du temps de parcours unique
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III UNE FORMULATION UNIQUE POUR
TOUS LES CAS ELLIPTIQUES:
1°) RELATIONS DE BASE EN FONCTION DE y et F. :
Nous
laissons au lecteur le soin d'établir les relations qui suivent, vérifiées dans
tous les cas par les variables y et F.
Seules
sont indiquées les formules à utiliser par leur n°, formules rappelées précédemment.
En
fait ces variables ne servent que d'intermédiaires et 2 variables définitives a et b sont introduites
:
2°) VARIABLES a ET b. :
Deux
dernières variables sont introduites, conduisant à des relations très
"symétriques".
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a = y + F |
b = F - y |
3°) RELATIONS DE BASE EN FONCTION
DE a ET b. :
Le
lecteur vérifiera les résultats suivants déduits des relations de III 1°),
applicables à tous les cas elliptiques :
Le
calcul de la durée du voyage s'exprime alors par l'équation ( I) :
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(I) |
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IV EXISTENCE D'UN VOL ELLIPTIQUE :
Le
temps de vol Dt étant fixé, une trajectoire
"courte" ou "longue" n'existe que si une valeur de a existe, vérifiant l'équation (I) ci-dessus.
1°) ETUDE DE F(a) :
Une
étude mathématique fine, montre que sur l'intervalle [0 2p] des valeurs possibles du paramètre a, la dérivée fe F est positive et tend vers 0 lorsque
a tend vers 0. Donc F est croissante
sur cet intervalle et son minimum est obtenu pour a = 0, qui pose une ambiguïté de limite qui se résout
sans difficulté par un développement limité.
2°) EXISTENCE DU CAS ELLIPTIQUE :
On
montre ainsi qu'un voyage elliptique ne peut exister que
car
la fonction F(a) est monotone.
On
peut encore traduire cette relation uniquement avec la géométrie du triangle OP1P2,
par la condition :
On
"sent" bien que si la durée imposée du voyage est trop courte, la
vitesse de tir devra augmenter et inévitablement jusqu'à dépasser la vitesse de
libération en P1, il devra être fait usage d'une trajectoire hyperbolique.
Ainsi, non limité en théorie par la vitesse de tir, un voyage sera toujours
possible, y compris pour un temps de vol tendant vers 0.
Outre
le fait que ce type de vol a peu de chance d'être pratiqué dans les années qui
viennent, pour éviter de nouveaux calculs, nous incitons le lecteur à établir
par analogie, la plupart des résultats de ce chapitre.
1°) RAPPELS SUR L'HYPERBOLE :
La
figure ci-dessous rappelle les données principales de l'hyperbole :
Les asymptotes
Le repère périfocal PQW
Le foyer O
Les coordonnées X et Y dans P et Q
Donnons
les principales relations, avec notamment le paramétrage utilisant le réel j, nommé ANOMALIE EXCENTRIQUE HYPERBOLIQUE
et pouvant prendre toute valeur réelle possible positive ou négative.
Avec les relations utiles, mais non
usuelles :
2°) CAS DE VOL HYPERBOLIQUE :
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Hyperbole R1 < R2 j1 < j2 d > p |
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Hyperbole R1 > R2 j1 < j2 d < p |
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Hyperbole R1 > R2 j1 < j2 d > p |
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Hyperbole R1 < R2 j1 < j2 d < p |
3°) CONVENTIONS :
Les
constantes géométriques S, D, l, d sont définies de la même manière
que dans le cas elliptique. Il en est de même du vecteur unitaire W orientant
le mouvement orbital. La figure qui suit résume les données.
On
appelle j1 et j2 , avec j1 < j2, les anomalies excentriques hyperboliques associées à P1 et
P2.
Comme
pour le cas elliptique, on introduit de nouvelles variables F et Y, puis a et b, définies par :
La constante l conserve la même définition que pour le cas elliptique
3°) FORMULES TRANSITOIRES AVEC Y et F :
Le
lecteur établira, par des calculs analogues à ceux du cas elliptique, et ceci
quel que soit le cas hyperbolique, les relations suivantes:
4°) FORMULES DECISIVES AVEC a et b :
Enfin,
pour achever les calculs, vous montrerez qu'une seule relation suffit pour tous
les cas hyperboliques de 4 à 7 :
l pouvant être naturellement positif
ou négatif, suivant la valeur de d.
5°) ETUDE DE G(a) : :
Le
lecteur démontrera ou admettra que la fonction G(a) est décroissante sur R+, son maximum coïncidant avec le minimum de F(a). La valeur minimale de G(a) est 0 quand a
tend vers l'infini.
Nous
constatons donc qu'un voyage à temps fixé, à moins d'un tour pour le cas elliptique, est
toujours possible quel que soit ce temps, soit sur une ellipse, soit sur une hyperbole. Le
problème revient alors à résoudre, pour chaque cas, une équation donnant a.
Le
reste du calcul c'est à dire la résolution conduisant aux valeurs des anomalies
excentriques puis notamment au calcul des paramètres orbitaux, relève des
autres cours déjà présentés et fera l'objet d'un excellent projet pour des étudiants de DESS.
REMARQUE FINALE :
Dans
le cas elliptique a peut varier de 0 à 2p
et pour le cas hyperbolique de 0 l'infini.
Une
variable X appelée variable de Lambert, peut être introduite, en posant :
Cette
variable X caractérise complètement la nature du voyage.
VI ADAPTATION AU VOYAGE ELLIPTIQUE A PLUS D'UN TOUR :
1°) ADAPTATION DES CALCULS :
Le
lecteur adaptera les calculs précédents, et se convaincra que si la sonde
effectue N tours complets avant le voyage classique à moins d'un tour, restant
à faire, pour établir :
La résolution relèvera des mêmes
calculs que plus haut.
2°) RESULTATS :
Cette
fois la fonction F(a) n'est plus monotone , comme le
montre l'exemple ci-dessous:
L'allure
du graphe montre alors qu'une solution à 1 tour peut exister, à condition que
le temps soit supérieur à un minimum, impossible à calculer littéralement ( du
moins pour l'auteur ). Mais alors, au dessus de ce minimum, il existera 2
solutions à 1 tour.
Le
propos pourrait se généraliser à plusieurs tours, sans grande difficulté.
Le
voyage est complètement précisé lorsque ayant caractérisé le cas de vol et
résolu l'équation du temps qui donne a
et b, on aura calculé les paramètres
orbitaux de la conique. Donnons les résultats pour l'ellipse, laissant au
lecteur le soin d'adapter le résultat au cas hyperbolique.
1°) Demi grand axe a et excentricité e :
C'est
le calcul le plus facile.
Pour
l'excentricité il suffit de partir des expressions de r1 et r2
en fonction de l'anomalie excentrique :
On
tire alors aisément e :
Naturellement,
l'excentricité e pourrait s'exprimer à l'aide de a et b ou de a uniquement.
3°) Vecteur vitesse :
La
résolution du vol a permis de calculer pour chaque cas, a, b, Y, F, j1, j2,
q1, q2, naturellement en apportant grand soin à la détermination correcte des
angles.
NB
: En particulier, l'inversion de j1 et j2 avec les rayons vecteurs pose le
problème de la détermination des angles, car la fonction y = Arc cosinus(x)
donne un résultat 0 < y < p. Or il
existe une autre solution entre p
et 2p, y = 2p - Arc cosinus(x). Il faut donc vérifier laquelle des
2 solutions est la bonne, avant de continuer.
En
utilisant les unitaires, radial et orthoradial, d'une position P1 ou P2, notés
u et v, on vérifiera par exemple :
4°) Inclinaison orbitale i :
Le
vecteur W qui oriente le plan orbital est parfaitement défini ( sauf cas
particuliers et singuliers d = 0 ou p ) , et l'inclinaison orbitale i s'en déduit sans
difficulté par :
5°) Longitude vernale W de la ligne des nœuds :
Sauf
cas particulier i = 0° ou 180°, vraiment singuliers et pour lesquels
classiquement W n'a plus de sens, un vecteur
unitaire de la ligne des nœuds est bien défini par :
Donnant
la longitude vernale de la ligne des nœuds :
6°) Argument nodal w du périgée :
Grâce
au rayon vecteur r et à la vitesse V, on construit le vecteur excentricité e et
tout en procédant à une vérification de e, on déduit l'argument nodal du
périgée.
7°) Anomalie moyenne d'une date (départ ou arrivée) :
M
= j - e*sinj calculée en P1 ou P2
7°) ROUTINES DE RESOLUTION :
Le
problème de Lambert a été résolu informatiquement, pas nécessairement d'une
manière qui convienne à tout le monde, mais utilisable. Deux langages ont été
utilisés: Pascal et C++. Tous les cas sont envisagés y compris les vols
hyperboliques.
a)
La routine a été écrite en PASCAL par l'auteur du site et vous avez accès soit
au source LAMBERT1.PAS, soit à l'exécutable LAMBERT1.EXE. Essayez pour voir.
b)
La routine a été écrite en C++ par 2 étudiantes de la promotion DESS TAE
2002-2003 et vous avez accès soit aux éléments sources ( LAMBERTC.ZIP
) et au source LAMBERTC.EXE. Essayez pour voir.
RESOLUTION FINE DU PROBLEME DE
LAMBERT
On conserve les conditions
de base du problème de Lambert en faisant la différence entre une trajectoire
qui relie 2 points en dehors de la notion de sphère d'influence d'une
trajectoire plus réaliste, destinée à un transfert interplanétaire, ou encore
un mélange des 2.
Ce qui caractérise le point
de départ ou celui d'arrivée, c'est la sphère d'influence. Si elle a un rayon
nul, c'est un point géométrique et le problème est parfaitement résolu. Si au
contraire le rayon est non nul, il faut tenir compte de la phase de traversée
de cette sphère d'influence.
I DONNEES
Nous notons Rspho
et Rsph1 les rayons respectifs des sphères, avec possibilité de une
ou deux valeurs nulles.
Nous conservons aussi Do
et D1 les dates juliennes de départ et d'arrivée, prises au moment
de l'évasion, c'est à dire à proximité de la planète, conventionnellement au
périgée de l'hyperbole de départ ou de celle d'arrivée.
On suppose aussi que les
éphémérides des planètes permettent de calculer Ro(t) =[ Xo(t), Yo(t), Zo(t)]
et R1(t) =[ X1(t), Y1(t), Z1(t)] les coordonnées des planètes dans un repère
héliocentrique bien précis, à tout instant.
II LES CONSEQUENCES
DE L'OUBLI DES SPHERES D'INFLUENCE
La résolution du problème
de Lambert est exacte entre 2 points géométriques.
Dans le cas de planètes, il
apparaît que les vitesses à l'infini présentent de petites divergences
notamment en ce qui concerne un tremplin, avec une évaluation de l'effet de
tremplin faussée par la durée de traversée de la sphère, supposée instantanée,
alors qu'elle ne l'est pas.
Illustrons par un calcul :
Le terme entre crochets est
nul si on suppose un tremplin instantané, à t=t1=t2 , et
on retrouve la formule classique du cours.
Par contre, la réalité
indique que le tremplin dure un certain temps ( pour la Terre de l'ordre de 1
jour ), on peut dire que pour sortir de la sphère d'influence, très rapidement
la sonde adopte sa vitesse de croisière, en s'éloignant sur l'asymptote à la
vitesse V infinie( variant de 11.4 à 15.5 km/s). Le rayon de la sphère
d'influence est sensiblement de 900000 km, ce qui donne un temps compris entre
0.67 et 0.9 jour.
Il est alors clair que par
exemple pour la Terre avec une vitesse de 30 km/s, sur cette durée, le vecteur
vitesse tourne de 0°.67 à 0°.9 environ, ce qui entraîne, prenons 1° une erreur
maximale de 1 km/s :
L'erreur n'est pas tout à
fait négligeable, entre 0.67 et 0.9 km/s.
III COMMENT Y
REMEDIER
1°) AMELIORATION DE LA
METHODE :
On calcule la trajectoire
de Lambert joignant le point de sortie de la sphère d'influence de départ , à
celui d'entrée dans la sphère d'influence à l'arrivée. Le départ est précédé
d'une phase hyperbolique d'évasion, l'arrivée se poursuit par une phase
hyperbolique de descente et de survol, avec ou sans tremplin gravitationnel.
Naturellement, la durée
totale du voyage reste la même, mais celle du voyage de Lambert entre les
sphères d'influence est plus courte et doit être évaluée finement. C'est
l'objet des itérations au chapitre suivant.
2°) APPROXIMATIONS
FAITES :
1 - Celle des sphères
d'influence, dont l'expérience montre qu'elle est très bonne. Rayons notés Rd
et Ra.
2- Les hyperboles de départ
ou d'arrivée sont en pratiques tellement tendues que l'asymptote est à une
distance très faible de 1 à 3 rayons planétaires du centre de la planète. Une
telle distance permet de supposer que pour placer le point de sortie ou
d'entrée dans la sphère, on peut le prendre de manière simple à partir du
centre planétaire, sur la sphère, dans la direction de la vitesse à l'infini de
sortie ou de son opposé dans le cas d'une rentrée. Un dessin montre mieux que
tout cette configuration.
En clair les positions Po
et Qo sont très voisines et sont donc confondues de même que P1 et Q1.
3°) METHODE NUMERIQUE
:
On procède par itérations.
L'indice de l'itération est l'indice du haut, celui du bas vaut d pour ce qui
concerne le départ et a pour l'arrivée. On notera le vecteur position en limite
de sphère d'influence, la vitesse héliocentrique en ce point de la sonde, celle
de la planète, et la vitesse à l'infini pour la ième itération:
Initialisation: c'est le cas élémentaire ponctuel.
On résout le problème de
Lambert et on trouve les vitesses héliocentriques, puis les vitesses à
l'infini.
On calcule les temps de
descente sur les hyperboles respectives de départ et d'arrivée, ces temps se
nomment, avec des notations évidentes:
Rien n'empêche de calculer
les temps exacts ( moins de 10% d'écart) , pour une précision certainement
illusoire, mais peut être cela vaut la peine d'essayer. Il faudrait alors
prendre en considération une hyperbole précise de descente, avec notamment une
altitude de périgée imposée et conduire le calcul du temps de descente, avec
l'anomalie excentrique hyperbolique.
Itération n : connaissant le niveau n-1
NB : Si on adopte le calcul
simplifié du temps sur hyperbole, alors il vient :
Les vitesses à l'infini se
calculent à chaque itération.
TEST D'ARRÊT DE
L'ITERATION :
Vous devriez assister à une
convergence de la solution, vous pouvez arrêter le processus par exemple en
imposant :
ou
peut être les 2 à la fois, c'est une question de pratique et de rapidité à
tester.
GUIZIOU Robert décembre 2004, sept
2011
Existence d'un fichier Lambert.doc ( Word 97 ),
Avec une mise en page optimisée